Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso Colégio Estadual Dinah Gonçalves email accbarroso@hotmail Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot accbarrosogestar.blogspot.br extraído do jmpmat7.blogspot EQUAÇÃO DE 1° GRAU SENTENÇAS Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa exemplo de uma sentença verdadeira a) 15 + 10 = 25 b) 2 . 5 = 10 exemplo de uma sentença falsa a) 10 + 3 = 18 b) 3 . 7 = 20 SENTEÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS Sentenças abertas são aquelas que possuem elementos desconhecidos. Esses elementos desconhecidos são chamados variáveis ou incógnitas. exemplos a) x + 4 = 9 (a variável é x) b) x + y = 20 (as variáveis são x e y) Sentenças fechada ou são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas. a) 15 -5 = 10 (verdadeira) b) 8 + 1 = 12 (falsa) EQUAÇÕES Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade exemplos a) x - 3 = 13 ( a variável ou incógnita x) b) 3y + 7 = 15 ( A variável ou incógnita é y) A expressão à esquerdas do sinal = chama-se 1º membro A expressão à direita do sinal do igual = chama-se 2º membro RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL O processo de resolução está baseado nas propriedades das igualdades 1º Propriedade Podemos somar (ou subtrair) um mesmo número dos dois membros da igualdade, obtendo uma sentença equivalente. exemplos: a) Resolver x - 3 = 5 solução x - 3 +3 = 5 + 3 x + 0 = 8 x = 8 b) resolver x + 2 = 7 solução x+2 -2 = 7 - 2 x + 0 = 5 x = 5 Baseado nessa propriedade,podemos concluir que: pode-se passar um termo de um membro para outro e troca-se o sinal desse termo. exemplos a) x - 3 = 5 x = x + 3 x = 8 b) x + 2 = 7 x = 7 - 2 x = 5 EXERCICIOS 1) Resolva as seguintes equações a) x + 5 = 8 ( R = 3) b) x - 4 = 3 (R = 7) c) x + 6 = 5 ( R = -1) d) x -3 = - 7 (R= -4) e) x + 9 = -1 (R=-10) f) x + 28 = 11 (R=-17) g) x - 109 = 5 (R= 114)h) x - 39 = -79 (R=-40)i) 10 = x + 9 (R=2) j) 15 = x + 20 (R= -5) l) 4 = x - 10 ( R= 14) m) 7 = x + 8 ( R= -1) n) 0 = x + 12 (R= -12)o) -3 = x + 10 (R= -13) 2º Propriedade Podemos multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma igualdade por um número diferentes de zero, obtendo uma sentença equivalente. exemplo de resolução pelo modo prático a) 3x =12 x = 12 /3 x = 4 b) x / 5 = 2 x = 2 . 5 x = 10 Importante ! Veja a equação -x = 5 interessa-nos valor de x e não o valor de -x então devemos multiplicar os dois membros da equação por -1 EXERCICIOS 1) Resolva as seguintes equações a) 3x = 15 (R=5) b) 2x = 14 ( R=7) c) 4x = -12 (R=-3) d) 7x = -21 (R=-3) e) 13x = 13 (R= 1)f) 9x = -9 (R=-1) g) 25x = 0 (R=0) h) 35x = -105 (R=-3) i) 4x = 1 (R=1/4) j) 21 = 3x (R=7) l) 84 = 6x (R=14) m) x/3 =7 (R=21) n) x/4 = -3 (R=-12) o) 2x/5 = 4 (R=10) p) 2x/3 = -10 (R=-15)q) 3x/4 = 30 (R=40) r) 2x/5 = -18 (R= -45) METODO PRÁTICO PARA RESOLVER EQUAÇÕES Para resolver equação de 1° grau usaremos um método pratico seguindo o roteiro: 1) Isolar no 1° membro os termos em x e no 2° membro os termos que não apresentam x ( devemos trocar o sinal dos termos que mudam de membro para outro) 2) Reduzir os termos semelhantes 3) Dividir ambos os membros pelo coeficiente de x Exemplos 1) 3X – 4 = 2X + 8 3X- 2X = 8 + 4 X = 12 2) 7X – 2 + 4 = 10 + 5X 7X – 5X = 10 + 2 – 4 7X – 5X = 10 + 2 – 4 2X = 8 X = 8/2 X= 4 3) 4(X + 3) =1 4X + 12 = 1 4X = 1 – 12 X = -11/4 4) 5(2x -4) = 7 ( x + 1) – 3 10x – 20 = 7x + 7 -3 10x – 7x = 7 -3 + 20 3x = 24 x = 24/ 3 x = 8 5) x/3 + x/2 = 15 2x / 6 + 3x / 6 = 90 / 6 2x + 3x = 90 5x = 90 x = 90 / 5 x = 18 EXERCICIOS 1)Resolva as equações a) 6x = 2x + 16 (R:4)b) 2x – 5 = x + 1 (R: 6) c) 2x + 3 = x + 4 (R: 1) d) 5x + 7 = 4x + 10 (R: 3) e) 4x – 10 = 2x + 2 (R: 6) f) 4x – 7 = 8x – 2(R:-5/4) g) 2x + 1 = 4x – 7 (R:4) h) 9x + 9 + 3x = 15 (R: ½) i) 16x – 1 = 12x + 3 (R:1)j) 3x – 2 = 4x + 9 (R:-11) l) 5x -3 + x = 2x + 9 (R:3) m) 17x – 7x = x + 18 (R: 2) n) x + x – 4 = 17 – 2x + 1 ( 11/2) o) x + 2x + 3 – 5x = 4x – 9 ( R:2)p) 5x + 6x – 16 = 3x + 2x - 4 (R:2)q) 5x + 4 = 3x – 2x + 4 (R: 0 ) 2) Resolva as seguintes equações a) 4x – 1 = 3 ( x – 1) (R: -2) b) 3( x – 2) = 2x – 4 (R:2) c) 2( x – 1) = 3x + 4 ( R: -6)d) 3(x – 1) – 7 = 15 (R: 25/3) e) 7 ( x – 4) = 2x – 3 (R: 5) f) 3 ( x –2) = 4(3 – x) (R:18/7) g) 3 ( 3x – 1) = 2 ( 3x + 2) ( R: 7/3) h) 7 ( x – 2 ) = 5 ( x + 3 ) (R: 29/2) i) 3 (2x – 1) = -2 ( x + 3) (R: -3/8) j) 5x – 3( x +2) = 15 (R: 21/2) k) 2x + 3x + 9 = 8(6 –x) (R:3) l) 4(x+ 10) -2(x – 5) = 0 (R: -25) m) 3 (2x + 3 ) – 4 (x -1) = 3 ( R: -5) n) 7 (x – 1) – 2 ( x- 5) = x – 5 (R: -2) o) 2 (3 – x ) = 3 ( x -4) + 15 (R: 3/5) p) 3 ( 5 – x ) – 3 ( 1 – 2x) = 42 (R:10) q) ( 4x + 6) – 2x = (x – 6) + 10 +14 (R:12) r) ( x – 3) – ( x + 2) + 2( x – 1) – 5 = 0 ( R:6)s) 3x -2 ( 4x – 3 ) = 2 – 3( x – 1) ( R ½)t) 3( x- 1) – ( x – 3) + 5 ( x – 2) = 18 ( R: 4) u) 5( x – 3 ) – 4 ( x + 2 ) = 2 + 3( 1 – 2x) (R:4) 3) Resolva as seguintes equações a) 2x + 5 - 5x = -1 (R=2) b) 5 + 6x = 5x + 2 (R=-3) c) x + 2x - 1 - 3 = x (R=2)d) -3x + 10 = 2x + 8 +1 (R= 1/5) e) 5x - 5 + x = 9 + x (R=14/5)f) 7x - 4 - x = -7x + 8 - 3x (R=12/16) g) -x -5 + 4x = -7x + 6x + 15 (R=5) h) 3x - 2x = 3x + 2 (R=-1) i) 2 - 4x = 32 - 18x + 12 (R=3) j) 2x - 1 = -3 + x + 4 (R= 2)l) 3x - 2 - 2x - 3 = 0 (R= 5) m) 10 - 9x + 2x = 2 - 3x (R=2) n) 4x - 4 - 5x = -6 + 90 (R= -88) o) 2 - 3x = -2x + 12 - 3x (R=5) 4) Resolva as seguintes equações a) 7(x - 5) = 3 (x + 1) (R=19/2 ou 38/4) b) 3 ( x - 2 ) = 4 (-x + 3) (R=18/7) c) 2 (x +1) - (x -1) = 0 (R= -3)d) 5(x + 1) -3 (x +2) = 0 (R= 1/2) e) 13 + 4(2x -1) = 5 (x +2) (R=1/3) f) 4(x + 5) + 3 (x +5)= 21 (R=-2)g) 2 (x +5 ) - 3 (5 - x) =10 (R=3) h) 8 ( x -1) = 8 -4(2x - 3) ( R= 7/4) EQUAÇÕES QUE APRESENTAM DENOMINADORES Vamos resolver as equações abaixo, eliminando inicialmente os denominadores exemplos: 1) Resolver a equação: x/3 + x/2 = 15 2x/6 + 3x/6 = 90/6 2x + 3x = 90 5x = 90 x = 90/5 x = 18 2) Resolver a equação (x-1)/4 - (x - 3)/6 = 3 3(x - 1) / 12 - 2 (x - 3) / 12 = 36 / 12 3(x - 1) -2 (x - 3) =36 3x - 3 -2x + 6 =36 3x - 2x = 36 + 3 - 6 x = 33 EXERCÍCIOS 1) resolva as seguintes equações, sendo a) x /2 - x/4 = 1 /2 (R:2) b) x/2 - x/4 = 5 (R:20)c) x/5 + x/2 = 7/10 (R:1)d) x/5 + 1 = 2x/3 (R: 15/7) e) x/2 + x/3 = 1 (R: 6/5) f) x/3 + 4 = 2x (R: 12/5) g) x/2 + 4 = 1/3 (R: -22/3)h) 5x/3 - 2/5 = 0 (R: 6/25) i) x - 1 = 5 - x/4 (R: 24/5)j) X + X/2 = 15 (R:10) l) 8x/3 = 2x - 9 (R: -27/2) m) x/2 + 3/4 = 1/6 (R: -7/6) 2) Resolva as seguintes equações a)x/2 - 7 = x/4 + 5 (R:48)b) 2x - 1/2 = 5x + 1/3 (R: -5/18) c) x - 1 = 5 - x/4 (R: 24/5) d) x/6 + x/3 = 18 - x/4 (R: 24) e) x/4 + x/6 + x/6 = 28 (R:48) f) x/8 + x/5 = 17 - x/10 (R: 40) g) x/4 - x/3 = 2x - 50 (R: 24) h) 5x /2 + 7 = 2x + 4 ( R: -6)i) x/4 - x/6 = 3 (R: 36) j) 3x/4 - x/6 = 5 (R: 12) l) x/5 + x/2 = 7/10 (R:1) m) 2x - 7)/5 = (x + 2)/3 (R:31) n) 5x/2 = 2x + (x - 2) / 3 (R: -4)o) (x - 3)/4 - (2x - 1) / 5 = 5 (R:-37) 3) Resolva as seguintes equações a) x/2 + x/3 = (x + 7)/3 (R: 14/3) b) (x + 2) / 6 + (x +1)/4 = 6 (R: 13)c) (x -2) /3 - (x + 1)/ 4 =4 (R:59) d) (x - 1) /2 + (x - 2) /3 = (x -3)/4 (R: 5/7) e) (2x- 3) / 4 - (2 - x)/3 = (x -1) / 3 (R: 13/6) f) (3x -2) / 4 = (3x + 3) / 8 g) 3x + 5) / 4 - (2x - 3) / 3 = 3 (R: 9)h) x/5 - 1 = 9 (R: 50) i) x/3 - 5 = 0 (R: 15)j) x/2 + 3x/5=6 (R:60/11) l) 5x - 10 = (x+1)/2 (R:7/3) m) (8x - 1) / 2 - 2x = 3 (R: 7/4) o) (x - 1) /2 + (x - 3)/3 = 6 (R: 9) p) (5x - 7)/2 = 1/2 + x ( R: 8/3) q) (2x - 1) / 3 = x - (x - 1)/5 (R:-4) PROBLEMAS DO 1° GRAU COM UMA VARIÁVEL 1) O dobro de um número aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número? (R:17) 2) A soma de um número com o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número? (R:12) 3) A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos. (R:45 e 15) 4) Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia? (R:15) 5) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número? (R:5) 6) O triplo de um número, mais dois,é igual ao próprio número menos quatro. Qual é esse número? (R:-3) 7) O quádruplo de um número, diminuído de 10, é igual ao dobro desse número, aumentado de 2. Qual é esse número? (R:6) 8) O triplo de um número, menos 25, é igual ao próprio número mais 55. Qual é esse número? (R:40) 9) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento? (R:13) 10) Um número somado com sua quarta parte é igual a 80. Qual é esse número? (R:64) 11) Um número mais sua metade é igual a 15. Qual é esse número? (R:10) 12) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número? (R:40) 13) O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número? (R:4) 14) O dobro de um número menos 10, é igual à sua metade, mais 50. Qual é esse número? (R:40) 15) Subtraindo 5 da terça parte de um número, obtém-se o resultado 15. Qual é esse número? (R:60) 16) A diferença entre o triplo de um número e a metade desse número é 35 . Qual é esse número? (R:14) 17) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 25. Quantos objetos há na caixa? (R:30) 18) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 empregados são brasileiros. Quantos são so empregados da fábrica? (R:108) 19) Flávia e Silvia têm juntas 21 anos. A idade de Sílvia é ¾ da idade de Flavia. Qual a idade de cada uma? (R:12 e 9) 20) A soma das idades de Carlos e Mário é 40 anos. A idade de Carlos é 3/5 da idade de Mário. Qual a idade de Mário? (R:25) 21) A diferença entre um número e os seus 2/5 é igual a 36. Qual é esse número? (R:60) 22) A diferença entre os 2/3 de um número e sua metade é igual a 6. Qual é esse número? (R:36) 23) Os 3/5 de um número aumentado de 12 são iguais aos 5/7 desse número. Qual é esse número? (R:105) 24) Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é gasta com a alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário? (R:450) 25) Lúcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações. Na 1ª prestação, ele pagou a metade do valor da camisa, na 2ªprestação , a terça parte e na ultima R$ 20,00. Quanto ele pagou pela camisa? (R:120) 26) Achar um número, sabendo-se que a soma de seus quocientes por 2, por 3 e por 5 é 124. (R:120) 27) Um número tem 6 unidades a mais que o outro. A soma deles é 76. Quais são esses números ? (R:35 e 41) 28) Um número tem 4 unidades a mais que o outro. A soma deles é 150. Quais são esses números ? (R:73 e 77) 29) Fábia tem 5 anos a mais que marcela. A soma da idade de ambas é igual a 39 anos. Qual é a idade de cada uma? (R:22 e 17) 30) Marcos e Plínio têm juntos R$ 35.000,00. Marcos tem a mais que Plínio R$ 6.000,00. Quanto tem cada um? (R: 20500 e 14500) 31) Tenho 9 anos a mais que meu irmão, juntos temos 79 anos. Quantos anos eu tenho? (R:44) 32) O perímetro de um retângulo mede 74 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que o comprimento tem 5 cm a mais que a largura? (R:16 e 21) 33) Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mário R$ 14,00 a menos que Paulo. Nós temos juntos R$ 156,00. Quantos reais tem cada um? (R:70,50 e 36) 34) A soma de dois números consecutivos é 51. Quais são esses números? (R:25 e 26) 35) A soma de dois números consecutivos é igual a 145. Quais são esse números? (R:72 e 73) 36) A soma de um número com seu sucessor é 71. Qual é esse número? (R: 35 e 36) 37) A soma de três números consecutivos é igual a 54. Quais são esses números ? (R:17,18,19) 38) A soma de dois números inteiros e consecutivos é -31. Quais são esses números? (R:-16 e -13) 39) A soma de dois números impares consecutivos é 264. Quais são esses números? (R:131 e 133 40) O triplo de um número, mais 10, é igual a 136. Qual é esse número? (R:42) 41) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 33. Qual é esse numero? (R:9) 42) As idades de dois irmãos somam 27 anos e a idade do primeiro é o dobro da idade do segundo. Qual é esse número? (R:18 e 9) 43) Um número somado com sua quarta parte é igual a 20. Qual é esse número? (R:16) 44) A terça parte de um número diminuída de sua quinta parte é igual a 6. Qual é o número? (R:45) 45) As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do mais velho, qual da idade do mais velho? (R:54) 46) A diferença entre um número e os seus 3/5 é igual a 16. Qual é esse número? (R:40) 47) Em uma escola, um terço dos alunos são meninos e 120 alunos são meninas. Quantos alunos há na escola? (R:180) 48) Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo. Quanto quilograma pesa o tijolo? (R: 2 kg) 49) Multiplicando-se um número por 5 e adicionando-se 9 ao produto obtém-se 64. Qual é esse número? (R:11) 50) A soma de dois números consecutivos é 273. Quais são esses números? (R:136 e 137) 51) A soma de três números consecutivos é 156. Quais são esses números? (R:51,52,53) 52) Pensei em um número que multiplicado por 3 e adicionado a 4 dá 19. Esse número é: (R:5) 53) Um número somado com o seu triplo é igual a 120. Esse numero é: ( R:30) 54) A soma de dois números consecutivos é 153. O maior deles é: (R:76 e 77) 55) O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número, mais 8. Esse número é (R:3) 56) Pensei em um número que somado com seu dobro e diminuído de 5 é igual a 37. Esse número é: (R:14) 57) O perímetro de um triangulo é 12 cm e as medidas dos lados são números consecutivos. Então, o menor lado mede: (R:3) 58) Três números pares e consecutivos têm por soma 60. O maior deles vale: (R:22) 59) Tenho 5 anos a mais que meu amigo e juntos temos 71 anos. Quantos anos eu tenho? (R:38) 60) Numa partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 145 pontos. A equipe A fez o dobro de pontos, menos 5, que a equipe B , Então, a equipe A marcou: (R:95) 61) Ari e Rui têm juntos R$ 840,00 A quantia de Ari é igual a ¾ da quantia de Rui. Logo, Rui tem: (R:480) 62) Se eu tivesse mais 5 anos estaria com o triplo da idade do meu irmão que tem 15 anos. Qual é a minha idade? (R:40) 63) Numa caixa há bolas brancas e pretas num total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do de preta, então o número de bolas brancas é (R:288) 64) Deseja-se cortar uma tira de couro de 120 cm de comprimento, em duas partes tais que o comprimento de uma seja igual ao triplo da outra . A parte maior mede: (R:90) 65) O numero que somado aos seus 2/3 resulta 30 é: (R:18) 66) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha obtém-se 3/5 de sua idade. A idade de minha filha em anos é: (R:15) 67) Qual o número que adicionado com sua metade dá 4,5? (R: 3) 68) Um número adicionado com sua décima parte dá 55. Qual é esse numero? 69) Os 2/3 de um número adicionado com o próprio número dá -10 . Qual é esse número? 70) Se adicionarmos um número à sua metade e à sua terça parte, obteremos 16,5 . Qual é esse numero? (R: 9) 71) Qual o número que acrescido a 10% de seu valor resulta em 1650? 72) Num certo ano, a produção de uma industria alcançou 720.000 unidades. Essa produção representou um aumento de 20% em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior? 73) Neste bimestre, a metade dos alunos da escola de Adriana obteve média acima de cinco, a terça parte da turma obteve media cinco e os outros 70 alunos alcançaram media inferior a cinco . Quantos alunos tem a escola de Adriana? 74) Qual o número que somado com a sua terça parte dá 16 ? (R: 16) 75) Um número somado com sua metade dá 16,5 . Que número é esse? (R: 11) 76) Adicionado um número com os seus 2/5 encontramos 28. Que número é esse? 77) Adicionando um número com sua metade e com a sua quarta parte obtemos 31,5. Qual é esse número? 78) Na Grécia antiga, Policrate, senhor absoluto do poder na ilha de Samos, perguntando a Pitágoras quantos alunos ele tinha, obteve a seguinte resposta : "A metade estuda Matemática, a quarta parte estuda os mistérios da natureza, a sétima parte medita em silencio e há ainda três mulheres " Quantos eram os alunos de Pitágoras? 79)Pedro é dois anos mais velhos que seu irmão. Como a soma das idades deles é 42, pode-se afirmar que, agora, Pedro tem? a) 15 anos b) 18 anos c) 22 anos (X)d) 25 anos e) 28 anos 80) Um número inteiro positivo multiplicado pelo seu sucessor (consecutivo) é igual a 12. O numero é a) 2 b) 3 X c) 5 d) 6 e) 8
Posted on: Sat, 20 Jul 2013 21:46:49 +0000
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